2017年高考数学技巧规范篇 第2篇《看细则、用模板、解题再规范》

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[题型解读]　解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力.解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.[模板和细则]　“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢.模板1　三角函数与解三角形例1　(12分)已知函数f(x)＝cosx·sin(x－).(1)当x∈[0，]时，求函数f(x)的值域；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，a＝且sinB＝2sinC，求△ABC的面积.规范解答·评分标准构建答题模板解　(1)由题意，得f(x)＝cosx(sinxcos－cosxsin)＝sinxcosx－cos2x＝sin2x－·＝(sin2x－cos2x)－＝sin(2x－)－.3分∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，π]，∴sin(2x－)∈[－，1]，∴f(x)∈[－，]，∴f(x)的值域为[－，].6分(2)由f(A)＝，得sin(2A－)－＝，即sin(2A－)＝1，∴2A－＝＋2kπ，k∈Z，即A＝kπ＋，k∈Z，又00，∴q＝2.又∵a41＝4，∴a4n＝a41qn－1＝4×2n－1＝2n＋1.6分(2)∵bn＝＋(－1)n·an1＝＋(－1)n·n7分＝＋(－1)n·n＝－＋(－1)n·n，∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)n·n].10分当n为偶数时，Sn＝1－＋；11分当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋bn＝1＋－－n＝1－－＝－(n≥3且n为奇数).[第一步]找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系.[第二步]求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式.[第三步]定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂经验证，当n＝1时，也满足Sn＝－.综上，数列{bn}的前n项和Sn＝12分项相消法、错位相减法、分组法等).[第四步]写步骤.[第五步]再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.评分细则　(1)求出d给1分，求an1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)bn写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；(3)缺少对bn的变形直接计算Sn，只要结论正确不扣分；(4)当n为奇数时求Sn中间过程缺一步不扣分.变式训练5　已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*，数列{bn}满足bn＝，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，不等式λTn0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；(4)第(2)问中，联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；(5)第(2)问求最值时，不指明最值取得的条件扣1分.变式训练6　已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点(，).(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围.解　(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则＝(其中c2＝a2－b2，c>0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：y＝kx＋m(k≠0且m≠0)，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，所以·＝＝k2，即－＋m2＝0.又m≠0，所以k2＝，即k＝±.由于直线OP、OQ的斜率存在，且Δ>0，得00)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.规范解答·评分标准构建答题模板解　(1)由题意知F(，0).设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为(，0).因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去).1分由＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.2分(2)①由(1)知F(1，0).设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0).因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)，[第一步]引参数：从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直故直线AB的斜率kAB＝－.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，代入抛物线方程得y2＋y－＝0，由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.4分设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.当y≠4时，kAE＝＝＝，可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0).由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1，0).当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1，0).7分②由①知直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.8分设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.设B(x1，y1).直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，所以y0＋y1＝－，可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为线的截距等.[第二步]列关系：根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程.[第三步]探定点：若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝k(x－x0)的形式，则k∈R时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0d＝＝＝4.10分则△ABE的面积S＝×4≥16，当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.12分的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的交点.[第四步]下结论.[第五步]再反思：在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.评分细则第(1)问得分点①求出t的值，得1分，列出关于t的方程，求解结果错误只得1分；②得出抛物线方程得1分.第(2)问得分点①写出直线l1在y轴上的截距得2分；②得出直线AE过定点得3分，只考虑当y≠4，且得出此时直线AE过定点，只能得2分，只考虑当y＝4，且得出此时直线AE过定点，只能得1分；③求出|AE|的长，且结论正确给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分；④正确得出B到直线AE的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分；⑤求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分.变式训练7　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋12＝0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)设A(－4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解　(1)由题意得∴故椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线PQ的方程为x＝my＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，由A，P，M三点共线可知＝，其中yM为点M的纵坐标，∴yM＝，同理可得yN＝，∴k1k2＝×＝＝，∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k2＝＝－，为定值.模板8　函数的单调性、极值与最值例8　(12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.规范解答·评分标准构建答题模板解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.9[第一步]求导数：写出函数的定义域，求函数的导数.[第二步]定符号：通过讨论确定f′(x)的符号.[第三步]写区间：利用f′(x)分令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0，1).12分的符号写出函数的单调区间.[第四步]求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则　(1)函数求导正确即给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝lna＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围给2分.变式训练8　已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0，1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最小值.解　(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依题意对任意x∈(0，1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即00，f(x)不符合条件.故a的取值范围为0≤a≤1.(2)g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.①当a＝0时，g′(x)＝ex>0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.②当a＝1时，对于任意x∈(0，1)，有g′(x)＝－2xex<0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0.③当00.a.若≥1，即0＜a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a，在x＝1处取得最大值g(1)＝(1－a)e.b.若<1，即0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)，试比较lna与－2b的大小.解　(1)∵b＝2－a，∴f′(x)＝2ax＋(2－a)－＝(x>0).①若a≥0，则f(x)在(0，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，又f()＝1－＋ln2，∴当0≤a＜4(1＋ln2)时，函数f(x)没有零点；当a＝4(1＋ln2)时，函数f(x)有一个零点；当a>4(1＋ln2)时，函数f(x)有两个零点.②若a<0，当－20，∴函数f(x)只有一个零点.当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上递减，f(x)有一个零点.当a<－2时，f(x)在(0，－)上递减，在(－，)上递增，在(，＋∞)上递减，f(x)只有一个零点.综上，0≤a＜4(1＋ln2)时无零点；a<0或a＝4(1＋ln2)时有一个零点；a>4(1＋ln2)时有两个零点.(2)由a>0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)，则函数f(x)在x＝1处取得最小值，由f′(x)＝2ax＋b－＝0得是f(x)的唯一的极小值点，故＝1，整理得2a＋b＝1即b＝1－2a.令g(x)＝2－4x＋lnx，则g′(x)＝，令g′(x)＝0得x＝.当00，g(x)单调递增；当x>时，g′(x)<0，g(x)单调递减.因此g(x)≤g()＝1＋ln＝1－ln4<0，故g(a)<0，即2－4a＋lna＝2b＋lna<0，即lna<－2b.